M推定「M-estimation」は、ロバスト推定の有力な手法の一つである。

詳細

最小2乗法は、観測値と推定値の誤差を2乗し、その総和を最小化する評価基準を使用する統計的推定手法です。この方法は一般的に有用ですが、外れ値が存在する場合、誤差が2乗されるため、その外れ値によって推定値に大きな影響を受ける可能性があります。そこで、外れ値の影響を軽減する評価基準が必要とされ、この評価基準を利用して行われる推定手法をM推定と呼びます。M推定はロバストな推定方法の一つであり、外れ値に対して頑健な結果を提供します。

M推定では、損失関数として凸型の偶関数が一般的に使用されます。この損失関数は、中心からの距離が一定の閾値C以下ではほぼ2次以上の増加関数を持ちます。しかし、この閾値を超えると、損失関数は1次関数となる（HuberのM推定法^[1]）、またはそれよりも緩やかな関数、あるいは一定の値をとることがあります（Biweight法^[2]）。この損失関数を微分することで影響関数が得られ、これを中心からの距離で割ってウェイト関数を得ます。最小2乗法ではウェイト関数は常に1になりますが、M推定では中心からの距離が閾値Cを超えるとウェイトが減少するか0になります。

M推定の計算手順は、まず最小2乗法などを使用して初期の推定値を求めます。これを基に、各観測値との誤差を計算し、ウェイト関数を使用して観測値の重みを調整します。そして、この調整された重みを用いて、重み付き最小2乗法を解いて推定値を更新します。このプロセスを、推定値が収束するまで繰り返すことで、最終的なM推定値を得ることができます。M推定は、外れ値の存在に対処しながら信頼性の高い統計的推定を行うための有用な方法です。

関連項目

• 高速M推定

引用

1. P. J. Huber, Robust estimation of a location parameter, Annals of Mathematics, 35, 73-101, 1964.
2. A. E. Beaton and J. W. Tukey, The fitting of power series, meaning polynomials, illustrated on band-spectroscopic data, Technometrics, 16, 147-185.